Cuando pensamos en un dado, casi todos imaginamos el mismo: un cubo con seis caras, como los que utilizamos en el parchís, la oca o tantos otros juegos. Los aficionados a los juegos de rol saben que hay más posibilidades, porque también existen dados de 4, 8, 12 o 20 caras.
Aunque puedan parecer simplemente distintas maneras de conseguir más resultados posibles, esos dados tienen algo en común. Sus formas corresponden a los cinco sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Y son cinco por una razón: no existen más poliedros regulares convexos de este tipo.
¿Por qué solo existen cinco?
Un sólido platónico es un poliedro convexo cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se encuentran siempre de la misma manera. La razón de que solo existan cinco está precisamente en esas esquinas y se puede entender sin demasiadas matemáticas.
Empecemos por los triángulos equiláteros, cuyos ángulos miden 60 grados. Podemos juntar tres, cuatro o cinco alrededor de un vértice y plegarlos para formar un volumen. De esas tres posibilidades salen el tetraedro, el octaedro y el icosaedro. Si intentamos hacerlo con seis, los ángulos suman exactamente 360 grados y los triángulos quedan sobre un plano.
Con los cuadrados pasa algo parecido. Tres ángulos de 90 grados permiten formar la esquina de un cubo, pero cuatro suman 360 y vuelven a quedar planos. Los pentágonos regulares todavía nos dan una posibilidad: tres ángulos de 108 grados suman 324, así que pueden plegarse para formar un dodecaedro. Con cuatro ya superaríamos los 360 grados.
Con los hexágonos se acaban las posibilidades. Cada ángulo mide 120 grados, de modo que tres juntos ya suman 360. Y los polígonos regulares con más lados tienen ángulos todavía mayores.
Por eso no existe un sexto sólido platónico. No es que nadie lo haya encontrado todavía: las propias reglas de la geometría impiden que exista.
¿Platónicos… por Platón, el filósofo?
Platón no descubrió estas cinco figuras. Su estudio es anterior y la historia exacta de cada una no puede reconstruirse con total seguridad. Las fuentes antiguas relacionan parte de estos conocimientos con la tradición pitagórica y atribuyen a Teeteto trabajos fundamentales sobre los sólidos regulares. Más tarde, Euclides los estudió sistemáticamente en el libro XIII de sus Elementos.
Platón los utilizó en el Timeo para explicar la naturaleza. Relacionó cuatro de ellos con los elementos que, según las ideas de la época, componían el mundo: el tetraedro con el fuego, el octaedro con el aire, el icosaedro con el agua y el cubo con la tierra.
Quedaba el dodecaedro, al que atribuyó un papel relacionado con la configuración del cosmos. No era, naturalmente, una explicación científica en el sentido actual, pero aquella relación entre geometría, materia y universo es una de las razones por las que hoy conocemos estas figuras como sólidos platónicos.
Aquellas ideas sobre los elementos quedaron atrás, pero algunas de estas geometrías sí aparecen en la naturaleza. La halita, el mineral del que procede la sal común, puede formar cristales cúbicos, mientras que la magnetita puede presentar cristales octaédricos. Muchos virus también construyen sus cápsides con simetría icosaédrica.
Y para encontrar los cinco sólidos juntos ni siquiera hace falta buscar minerales o mirar al microscopio. Basta con volver a los juegos de rol: un d4 tiene forma de tetraedro; un d6, de cubo; un d8, de octaedro; un d12, de dodecaedro, y un d20, de icosaedro.
Eso no significa que solo puedan fabricarse dados con esas formas. Los hay de 10, 30, 100 caras y con muchas otras geometrías. Tampoco la forma garantiza por sí sola que un dado esté perfectamente equilibrado, porque eso depende también de cómo se haya fabricado.
Lo especial de esos cinco dados es que corresponden a todas las posibilidades que permite la geometría cuando queremos construir un poliedro regular convexo.
Así que la próxima vez que veas juntos un d4, un d6, un d8, un d12 y un d20, quizá te fijes en ellos antes de tirarlos. No son solo cinco dados con distinto número de caras: son las cinco únicas formas posibles de su clase.
Fuentes y para seguir descubriendo
Para profundizar en la relación entre estas cinco figuras y Platón, la Stanford Encyclopedia of Philosophy — Plato’s Timaeus explica el papel que tienen los sólidos en la descripción de la materia y del cosmos que aparece en el Timeo.
La historia matemática puede seguirse a través de MacTutor History of Mathematics — Euclid. Para consultar las propiedades matemáticas de los cinco sólidos y sus características geométricas, puede utilizarse también Wolfram MathWorld — Platonic Solid.
